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浅谈交流电的有效值和平均值

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发表于 2011-12-27 11:42:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
一、基本概念:
交流电的有效值:
      在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流,经过一个交流周期的时间,如果它们在电阻上所损失的电能相等的话,则把该直流电流(电压)的大小作为交流电流(电压)的有效值,正弦电流(电压)的有效值等于其最大值(幅值)的0.707倍。
交流电的平均值:
    对于交流电来说,数学上的平均值是0(因为是正负是对称的)。但电工技术上我们关心的是其量值(绝对值)的大小。所以电工技术上的平均值指的是电流(电压)的绝对值在一个周期内的平均值。
二、例子:
1、10V的直流电压加在10Ω电阻的两端,电阻的发热功率是多少?
   这个答案很简单,坛里所有的朋友都会:P=U×U/R=10V×10V/10Ω=10W
2、如果把上面的10V直流电压改成下图±10V的方波呢,电阻的发热功率又是多少?
0.jpg
     答案是否也不难?因为负半周时电压的平方和正半周时是一样的,所以功率也和上面一样还是10W!
(电压是负的功率还是正的,也就是功率和电压的正负无关)
0.jpg
     图中红色部分是正半周做的功,蓝色部分是负半周作的功
  问:这个±10V的方波电压的平均值是多少?有效值是多少?峰值是多少?
根据上面的定义,很明显:
       ①平均值是10V(其电压的绝对值在一个周期内的平均值是10V);
       ②有效值是10V(发热功率相同的等效直流电压是10V);
       ③峰值是10V
3、如果把上面的方波去掉负半周部分(也就是+10V方波),那电阻上的功率又会是多少呢?
0.jpg
     很明显,只有一半时间在做功,从宏观上看其平均功率只有一半了,也就是5W!
   同问:这个+10V的方波电压的平均值是多少?有效值是多少?峰值是多少?
根据上面的定义,很明显:
    ①平均值是5V(其电压的绝对值在一个周期内的平均值是5V);
      ②有效值是7.07V:(发热功率相同的等效直流电压是:U^2=PR=5W×10Ω,U=根号50≈7.07V);
    ③峰值是10V
可见:去掉负半周后其电压的平均值是原来的一半,而有效值并不是原来的一半,而是原来的0.707倍!峰值不变
       以上为了便于理解,用了方波做例子计算(如果用正弦波,那么就需要有高等数学的微积分知识,对于某些朋友可能理解困难。事实上为什么正弦交流电的峰值和有效值之间是根号2倍的关系,以及平均值之间的关系等都是通过积分计算得出的,对于非正弦波其关系就不一定相同了,所以千万别乱套用)。对于正弦波现在我们可以用有效值相同的方波去等效,那么也可以得出这样的结论:半波整流后的电压有效值是整流前的有效值的0.707倍(而并不是有些朋友理解的一半)

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发表于 2011-12-27 18:37:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 越南河粉 于 2011-12-27 18:44 编辑

有效值的概念来自其所能产生的功率 = V2/R  所以把V2积分平均,再取平方根

积分(0,pi) sin2t dt / pi = 1/2

取其平方根 = 0.707
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 楼主| 发表于 2011-12-27 11:49:49 | 显示全部楼层
简单地说,有效值是功率(或做功)等效的直流电流(电压),而平均值只是简单的进行电流(电压)平均。所以计算功率就必须用有效值而不是平均值
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发表于 2011-12-27 16:14:40 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2011-12-27 16:47:53 | 显示全部楼层
回复 3# wgh1027


    交流电流(电压)的平均值的定义是:一个周期内电流(电压)的绝对值的平均值。而不是一个周期内电流(电压)的平均值!否则的话所有无直流分量的纯交流电流(电压)的平均值都是0(而不管他们的幅度有多大)。那么这个平均值就没多大的意义。
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发表于 2011-12-27 17:14:08 | 显示全部楼层
问:这个±10V的方波电压的平均值是多少?有效值是多少?峰值是多少?
根据上面的定义,很明显:
        ...
wgh1027 发表于 2011-12-27 16:14



    是绝对值的平均值!
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发表于 2011-12-27 17:37:27 | 显示全部楼层
“可见:去掉负半周后其电压的平均值是原来的一半,而有效值并不是原来的一半,而是原来的0.707倍!峰值不变
       以上为了便于理解,用了方波做例子计算(如果用正弦波,那么就需要有高等数学的微积分知识,对于某些朋友可能理解困难。事实上为什么正弦交流电的峰值和有效值之间是根号2倍的关系,以及平均值之间的关系等都是通过积分计算得出的,对于非正弦波其关系就不一定相同了,所以千万别乱套用)。对于正弦波现在我们可以用有效值相同的方波去等效,那么也可以得出这样的结论:半波整流后的电压有效值是整流前的有效值的0.707倍(而并不是有些朋友理解的一半)”

楼主举例和计算恰好颠倒了,上述公式只是对于正弦波才有效,而方波的有效值则必须借助傅里叶积分来换算,也就是把方波分解成N次谐波的正弦波,取样后经过上述公式计算再合并得到结果。

正弦波的交流电计算无需积分,而方波以及所有的非正弦波都需要借助积分来计算,所以您的概念不对。
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 楼主| 发表于 2011-12-27 17:58:23 | 显示全部楼层
回复 6# hfmth


    根据有效值的定义去计算就不会错!用积分计算并不局限于正弦波,对任何波形都是可以的。你用傅里叶级数展开后再计算也是种计算非正弦波的方法,只是绕了个圈子,计算结果还是一样的,假如你的计算精度够高的话。不信你可以试试。正弦波的有效值是峰值的0.707倍这个0.707就是积分计算出来的,你可以去推导或查找相关资料。我们平时计算只是应用了这个结果而已,关键是很多朋友并不知道这个是怎么来的。
  顶楼之所以用方波计算,就是为了没有高等数学的朋友比较容易理解,因为方波用初等数学的知识就可以计算功率,然后根据有效值的定义去反推有效值。
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发表于 2011-12-27 18:20:20 | 显示全部楼层
而方波的有效值则必须借助傅里叶积分来换算,也就是把方波分解成N次谐波的正弦波,取样后经过上述公式计算再合并得到结果。
hfmth 发表于 2011-12-27 17:37



    其实是不必多此一举的。分解再积分,结果一样。
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发表于 2011-12-27 18:23:04 | 显示全部楼层
“可见:去掉负半周后其电压的平均值是原来的一半,而有效值并不是原来的一半,而是原来的0.707倍!峰值不变 ...
hfmth 发表于 2011-12-27 17:37



    您真搞笑,本来小学四年级的数学运算,也就是计算个矩形的面积,您非得用到傅里叶。
说这个我想起来一个笑话,一个教授给学生上课,他讲了个故事,说有一个哑巴去商店买东西,他对着售货员伸出手比划了一下,接着用右手做着敲打的动作。售货员拿出一把锤子递给了他。接过去之后,哑巴又把双手握为拳头状,右手不停的对着左手上下的敲打。售货员马上拿出钉子递给他。哑巴满意的走了出去。
    接着教授讲道:“就在哑巴走了出去之后,跟着进来个盲人,他想要买一把剪刀。大家说,他怎么才能叫售货员知道自己是来买剪刀的?”
教授刚一讲完,就有一个学生大声的回答:“这个很简单啊,他只要伸出两个指头,对着售货员比划个剪东西的手势就可以了”这个学生的话刚说完,其他学生纷纷附和。
教授听了笑了起来:“后面进来的这人是个盲人,他只要说出自己要买什么东西,就可以了”。
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发表于 2011-12-27 18:33:54 | 显示全部楼层
回复  hfmth


    根据有效值的定义去计算就不会错!用积分计算并不局限于正弦波,对任何波形都是可以 ...
qzlbwang 发表于 2011-12-27 17:58



    这个说法正确。
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 楼主| 发表于 2011-12-27 18:38:06 | 显示全部楼层
有效值又叫“方均根值”-----先进行“方”(平方)运算,把其化为功率;再进行“均”(平均),在一个周期内进行功率平均;最后进行“根”(平方根)运算,计算出有效值。比如说对于交流电压u,其有效值: 0.jpg         ( 其中U是有效值,T是周期,u是瞬时值,可以是任何的周期函数。)对于正弦波,u=UmSinωt    其中Um是峰值,ω是角频率。代人上面的式子,计算后就可以得出 0.jpg
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 楼主| 发表于 2011-12-28 13:36:12 | 显示全部楼层
00.jpg
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 楼主| 发表于 2011-12-28 13:40:22 | 显示全部楼层
常见波形的有效值、平均值和峰值的关系:
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发表于 2011-12-28 16:48:23 | 显示全部楼层
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