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发表于 2024-1-8 16:54:11
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本帖最后由 MF35_ 于 2024-1-8 17:14 编辑
那得首先搞清楚什么是线性，线性在数学上指一个系统其输入输出之间的关系，即传递方程是线性关系
具有线性关系的传递方程f(x)，必然满足以下两个条件：
1) f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，这个叫做结合律
2) f(ax)=af(x)，这个叫做交换律
x是输入向量空间，也叫做输入域或输入集合，同样f(x)是输出向量空间，即输出域或输出集合。电路一定可以选择一个输入和一个输出，考量一个电路是否是线性电路，要看选取的输出和输入之间的关系是否是线性关系。对于同一个电路模块，x可以取不同的向量空间，f(x)也可以是不同的变换过程，即输入和输出可以选择不同的参数，所以单纯说的一个电路是否线性并没有意义，要看你选择的是哪种输入输出参数。
比如，一个放大器，我们令x为输入电压，f(x)为输出电压，假设对于x∈(a,b)有f(x)=Ax，则对于x∈(a,b)这个向量空间来说，f(x)就是一个线性变换。因为Ax满足上述两个条件。
同样，一个放大器，我们令s为输入频率，H(s)为该频率的增益，假设对于s∈(p,q)有H(s)=as+b，则对于x∈(p,q)这个向量空间来说，H(s)就不是一个线性变换，因为as+b不满足上述两个条件。
因此，对于同一个电路，我们考察的输入输出域不同，其是否是线性系统也不同。那么对于一个滤波环节，或者一个电抗元件，你想考察的输入输出域是什么？脱离了输入输出域，单独说一个滤波环节或一个电抗元件是否线性有什么意义呢？
可见，线性是个相对的概念，取决于你选取的输入和输出域，最简单的例子，一个输出和输入呈对数关系的函数，显然是非线性的，但如果我们把输入域改成指数关系，那么它又是线性的了。又比如很多表达式看上去“很不线性”的函数，其实是线性函数，比如傅里叶变换，只因为其输入域和输出域的表达是非线性的，但其关系是线性的。
另外，我们经常把线性函数和一次函数混淆，对于典型的一次函数f(x)=ax+b，它显然不是个线性函数，它只是直线型函数，线性函数的特征是输出和输入之间在某个域上呈固定比例关系，也就是说如果把输入域和输出域分别作为x轴和y轴，线性函数一定是过零点的直线。
以上内容在《线性代数》这本书有详细的解释。
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