一根线，围成一个任意形状的闭合平面图形，面积最大的是圆，如何证明？

girlexplorer

老衲看到这个题目，一时半刻想不出如何证明。

mao_zj

一是用微积分方式求解，直接用公式套就行了。二是用初等数学的比较法求解（极值办法）。
比较法直观好理解：圆的面积和正三角形、正四边形（正方形）的面积比较，由此推论即可求证。
单位圆的面积=(a*a)/(4*3.14）
正四边形（单位尺寸最大面积的四边形）=（a*a)/4*4
正三角形面积（单位尺寸最大面积的三角形）=（a*a）*1.7341/36=(a*a)/20.78
分子不变，分母圆形的最小。
由此推论，在限定的单位尺寸内，随着（正）边的增多，面积会逐步增多，无限正多边形，就是圆形了。所以圆形的面积是最大的了。

qyg123

气球吹起来是圆的就是证明。

qyg123

当然，你也可以用积分去证明。先等边三角形，后等边四边形，趋近于圆。

scoopydoo

等周定理，去找 “李永乐老师” 或者 “妈咪说” 的视频看看吧。

bigluo

这种问题找“AI”就最好了：
要证明给定固定周长的所有闭合平面图形中，圆的面积最大，我们可以使用变分法或者直接应用等周问题（isoperimetric inequality）的结果。

等周问题是数学中的一个经典问题，它询问在所有具有相同周长的平面闭合曲线中，哪一种形状围成的面积最大。答案是圆形，这个结论被称为等周不等式。等周不等式可以表述为：

对于任何简单闭合曲线 C，其长度为 L，所围成的区域面积为 A，则有：
\[ 4\pi A \leq L^2 \]

并且等号成立当且仅当 C 是一个圆。

以下是用变分法的一个简化证明思路：

1. 假设我们有一个任意形状的闭合曲线，其周长为固定的 P。
2. 我们考虑将这条曲线稍微变形一点，看看面积会如何变化。如果我们能找到一种方式使得任何微小的改变都不会增加面积，那么原始形状就是最优的。
3. 在变分法中，我们引入拉格朗日乘数法来处理约束条件（即周长保持不变）。我们要最大化的是面积 \(A\)，同时满足周长 \(P\) 不变的条件。
4. 对于二维情况，我们可以写出面积和周长的公式，并通过极坐标或者其他参数化方法表示它们。
5. 使用欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到描述最优形状的微分方程。对于这个问题，解出的微分方程描述的是一个圆。
6. 因此，我们得出结论：在所有可能的形状中，只有圆形能够满足这样的条件，即在周长固定的情况下，圆形提供了最大的面积。

更正式的证明涉及到了复杂的数学分析，包括积分、微分方程以及不等式的严格证明。如果你对具体的数学步骤感兴趣，可以查阅有关变分法或几何不等式的数学文献以获得完整的证明过程。