用excel验证傅立叶变换

iffi123

傅立叶变换在数字信号处理里有着广泛应用，与其看着书上写的头头是道， 不如自己亲自算算

利用excel表的计算功能，实际验证一下

构造一个输入信号:   f(N)=57+110sin(2*PI*500*N/2500)+320cos(2*PI*200*N/2500)
为了方便计算， 函数是离散的，它包含了直流(幅度57),  幅度110的500Hz正弦波， 以及幅度320的200Hz余弦波三项。

下面通过傅立叶变换，计算出上述三个分量的幅度值(系数)

计算公式如下,  公式本身是针对连续时间函数的， 不过验证采用有限点求和代替积分


先假设200Hz, 500Hz为基频100Hz的谐波，采样频率取500Hz的5倍即2500Hz
公式里的T是指基频的周期，也就是100Hz, 积分区间取0-T (0-2π), 所以只要计算f(N)的25个点(N=0 -24), 也就是D列

然后根据公式，还需要构造一个单位幅度500Hz正弦波,以及单位幅度200Hz余弦波, 如图的E列，和F列， 另外还构造一个单位幅度400Hz正弦波(输入信号无此分量，用于对照)，即G列

再分别和输入信号(D列)逐一相乘(直流分量K列的不需要相乘, 见公式)

然后对相乘后的每1列求和(25项), 这个结果代表积分值(原本还需要乘以Δt, 也就是采样周期，因为计算公式分母的T也包含Δt, 可抵消）


这样可以得出，500Hz的累加值为1375, 为计算幅度,它需要除以T(前面说过，分子分母抵消掉采样周期，只要用采样点数即可代替, 25个采样点代表1个基频周期), 所以1375/25*2=110, 与输入信号的幅度完全一致

同样的200Hz的为4000, 所以幅度=4000/25*2=320, 也是一样

而对400Hz计算结果为-1.3074E-12， 视为0，说明输入不含400Hz

最后直流分量累加值为1425, 幅度为1425/25=57(不需要再乘以2)

验证成功

bailoao

题目简单了，欧拉公式展开可以直接眼瞅出结果。
连续到离散的过程，有时域周期化、一致收敛、采样，导出频域连续，再到频域采样等一系列过程，后续还有窗函数、噪声、fft等内容也挺有意思的，希望坚持下去。

protel99se

估计bailoao 是玩信号处理的专业人士！

longshort

楼主比俺强多了！想当年，为了弄明白啥叫“二进制”，硬是趴在插队时的炕上，用0和1排了长长的队，花了好几张练习簿的纸哦.........

kill00000

只有膜拜！

pdshyh

数学这样应用厉害。

mengtf

楼主的实验精神令人佩服。