矿石收音机效率公式推导初步（纠正）

xinlizixun0207

上一次的帖子有误，更正如下。

想从另一个思路上，初步尝试推导一下矿石收音机的工作效率。此处的效率，我暂且理解为耳机负载值同LC电路的关系。因为水平业余，所以是抛我的砖引各位大神的玉。那啥，初学者（我也是）注意了，这是尝试，结果不一定正确；当然，我经过验算，似乎还好，貌似能够解释很多矿机现象。如事实证明推导错误，请版主删除，就当发了个帖子热闹了一把。
好吧，下面开始做题吧。咱一步步来，别慌、别慌。

第一题、求二极管导通情况下耳机效率

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这是情况分析

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已知：
①天线良好，喇叭响亮，二极管已经导通。
②全波检波。
求：Rl的功率÷LC谐振电路接收到的总功率=？%，这个比率暂且叫做“矿机效率”吧。
解：
1、麦克老师翻译的文章（以下简称“文章”）中说，“LC 电路有一个确定的并联电阻 Rp，这不是真正的电阻器，而是线圈和可变电容损失所造成的有效电阻。”我确信，Rp通过辐射消耗电能（它一旁的另一组线圈会接到能量应该是很好的证明），它不会因为接入耳机造成Q值下降而消失，而是依然存在，只是下降了。LC的很低的内阻同它串联，同巨大的Rp相比，以其极小可以忽略。
LC电路两端产生新的谐振阻抗Rp×Rl/（Rp+Rl），并连着两个负载：Rl和谐振阻抗（因为二极管导通Rd=0，故R=Rl，所以下面用Rl代替R）和新的隐形的阻抗（它的数值不用计算）。
2、因为LC电路的Q值同其谐振阻抗成正比，那么新的谐振阻抗和Q值同空载阻抗和空载Q值比例为：
有载Q值/空载Q值=Rl×Rp/（Rl+Rp）
设Rp=1，则Rl取值为比Rp的倍数，则 有：新Q值=Rl/（Rl+1）
因为电压的平方同谐振阻抗成正比，那么新的谐振电压同空载谐振电压比为：
有载电压/空载电压={Rl×Rp/（Rl+Rp）}开平方
设Rp=1，则Rl取值为比Rp的倍数，则 有：新电压值=√Rl/（Rl+1）
那么，Rl的功率=两端电压的平方÷Rl=1/（Rl+1）。此功率此处先叫做矿机效率吧。
全波检波效率n=1/（Rl+1）
当Rl=0时，n最大值为1。
4、用表格来分析一下：

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红色最佳、最大

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答案小结：
在二极管导通的全波检波电路中，全波检波电路的矿机效率n=1/（Rl+1）。最大值=1。Rl/Rp最佳比例1/9，效率高90%，选择性也不错。在二极管导通的全波检波电路中：负载取值越低，效率越高。效率以外的部分被谐振阻抗消耗了。
讨论：
1、半波检波效率也符合这个规律。我没有一个准确的计算方法，估算：阻抗要小一倍，效率理论上也小一倍，大家可以自己推算。最大值50%。半波检波Rl/Rp最佳比例1/19。
2、倍压检波，是将两个Rl串联为一个，阻抗比全波检波要大一倍，或者抽头降低一倍才有效。照此计算，倍压检波最佳阻抗≈4×半波检波最佳阻抗。记得龙虾先生早就说过：倍压检波阻抗要增加到4倍。服了。倍压检波Rl/Rp最佳比例1/4。
3、双二极管电路阻抗要小一倍，或者抽头提高一倍才有效，因为是两个Rl并联。双二极管电路Rl/Rp最佳比例1/19。
4、或许，当Rp和Rl并联后=LC内阻时（零点几Ω），LC的能量输出最大。
验算：
我的矿机：空心线圈240uh（做得不强，跟鸟巢一样），空气可变360pf（没有在纯碱水里煮过），Q值不会超过100，谐振阻抗约150kΩ欧姆，天线室外20米，可以带喇叭，距离3—4米完全可以听，用的是iss86二极管，估计处于导通状态也很可能，很符合上面案例的参数。负载阻抗取值15k欧姆，电流最大（我记得是75ua）。半波检波效率计算结果=41.7%，Q=16.7。
梁老师的一个3dq矿机：短波磁棒线圈Q=500，抽头处4圈约2.5uh，检波器3dq电阻=0，相当于导通状态。此处的谐振阻抗RP为7850欧姆。用两个300欧姆阻抗的耳机串联=600欧姆，效果最好，选择性很好。计算得知Rl/RP=600/7850=1/13，半波检波效率=43.33%,有载Q=70。
陈宪文老前辈的矿机：空心线圈Q=363（频率1000khz），抽头处20圈用软件计算约60uh，喇叭音量相当于3灯电子管收音机，可见它的检波矿石已经导通（电阻=200欧姆，略去）。抽头处的谐振阻抗RP为136778欧姆，的负载阻抗是3000欧姆效果最好，Rl/RP=1/45。计算得知半波检波效率为47.9%，有载Q=16。
罗鹏搏前辈的矿机：纸质线圈直径64毫米Q=176（频率1000khz），抽头处40圈用软件计算约110uh，舌簧喇叭13.5k欧姆，电流1.1ma，音量很大，20平米房间可听。他用的二极管可能已经导通。抽头处的谐振阻抗RP为121580欧姆时，效果最好，Rl/RP=1/9。计算得知半波检波效率为40.9%，有载Q=35.2。
我们来推断一下麦克老师的3kΩ喇叭，连接线圈抽头的位置：如果线圈Q=500，且设计频率1000khz，且半波检波，且线圈直径70mm，且当喇叭功率表现良好时，抽头从低到高更换马上停止，那么：效率就是45%，抽头位置的谐振阻抗=3×19=57kΩ，抽头位置线圈电感=57000÷500÷6.28=18.15uh，导线圈数软件计算结果=13圈。太多的“如果”了，权当作计算演练吧。

xinlizixun0207

第二题、二极管平方律工作下耳机效率
第二题说的情况是，天线不强，电台距离远，信号弱，耳机音量小。更大的不幸是：二极管的电阻竟然莫名奇妙的变大了，还不是一般的大，是15kΩ—500kΩ，还要处于什么该死的“平方律”工作状态下，矿机效率当然还要降低！真是屋漏又遭连夜雨，行船偏遇打头风，简直不让人活了！（所幸的是，我们有3dq神器，没有“平方律”之苦！换言之，3dq神器可以使弱信号的矿机摆脱“平方律”，理论上推算效率比二极管的差不多要增大一倍。这一题里面不涉及神器3dq，光说那“不让人活”的二极管吧。）
这一题的解题方法基本同第一题，不同之处在于：负载阻抗Rl所得功率算出来以后，要再同串联在一起的二极管Rd再分配，电阻大的功率也大。此时二极管电阻15kΩ—500kΩ，影响矿机效率自然是非常严重！
简单计算都略去，简述如下：
解：
在第一题中，已经算出来了负载阻抗R所得效率是1/（1+R）；此时Rd出现，因此阻抗R所得效率=1/{1+（Rl+Rd）}。
下面，这个效率要被负载Rl和同二极管Rd串联起来再分配。计算得：Rl所得功率和R功率之比=Rl/（Rl+Rd）。
Rl的整个矿机效率等于上面二者之积。因此有：
平方律状态下Rl效率n=1/{1+（Rl+Rd）}×{Rl/（Rl+Rd）}，简化后得：
平方律状态下全波检波Rl效率n=Rl/{（Rl+Rd）+（Rl+Rd）2}
不喜欢数学的，可以跳过下面几行，到后边直接看答案。
接下来进一步演算。
n=1/{1+2Rd+Rl+（Rd+Rd2）/Rl}
如果先确定Rd的数值，那么在此公式中，Rd就是一个常数，剩下Rl一个变量。公式曲线是抛物线。
公式中，当 Rl+（Rd+Rd2）/Rl取最小值时，n值最大。
那么，函数f（Rl）=Rl+（Rd+Rd2）/Rl要取最小值。此函数是双钩函数，按照双钩函数抛物线顶点坐标公式得知：
当Rl=√（Rd+Rd2）时，函数f（Rl）最小，亦即，n值最大。
将√（Rd+Rd2）代入n=1/{1+2Rd+Rl+（Rd+Rd2）/Rl}中，得
n=1/{2+2Rd+2√（Rd+Rd2）}
即，公式n=1/{+2Rd+（Rd+Rd2）/Rl+Rl}曲线顶点的横向和纵向坐标分别为：
Rl=√（Rd+Rd2）；
n=1/{1+2Rd+2√（Rd+Rd2）}
计算这个曲线顶点坐标的意义是：
在二极管平方率工作状态中，如果二极管的Rd为定值（此处取Rd/Rp比例值），那么，当耳机阻抗
Rl=√（Rd+Rd2）时，矿机最大效率
n=1/{1+2Rd+2√（Rd+Rd2）}
答案小结：
平方律状态下全波检波
效率n=Rl/{（Rl+Rd）+（Rl+Rd）2}。
空载Q值/有载Q值=（Rl+Rd+1）/（Rl+Rd）
空载电压/有载电压=根号{（Rl+Rd+1）/（Rl+Rd）}
负载Rl=√（Rd+Rd2）时，
矿机最大效率n=1/{1+2Rd+2√（Rd+Rd2）}
下面是二极管3个Rd前提下，负载效率分析表格。红字体为负载最佳值、效率最大值。

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红色为可参考值

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讨论：
1、二极管平方律工作状态中，使用Rd低低二极管，效率高于Rd高的二极管。匹配负载值低，二极管Rd也要低，Rl/Rp≈0.3—0.5吧，矿机效率最高，47%左右。二极管rd大，要求匹配负载阻抗大，Rl/Rp=1.5到4吧，12%左右，选择性好，效率低。高阻抗耳机不容易找到，而低于最佳阻抗值的，用起来也不错效率也差的不多。
2、单倍检波的效率，我估计小一倍，同时阻抗大概要低一倍。有兴趣的，大家可以接着算。
3、实际效率可能要比计算数据高一些。因为Rd数据是二极管电阻的最大值，十分接近反向电阻，最糟糕的状态，可以理解为两端电压接近零。而实际工作中，二极管两端电压虽然很小，却很少=0，甚至工作在导通和平方律之间。两壶居士曾经测定了二极管在有一点电流的情况下的电阻，比通常的数据小多了，虽然那个帖子里很多人反对，可我觉得，两壶居士数据，更接近实际工作情况。实际估算中，不妨将Rd的数据降低一些1—4倍。那么，bat85在工作中Rd就很可能达不到400kΩ。记得有一个帖子说，2AP9的Rd只有4kΩ，这都是可能的。
4、高Rd和高负载值，维持了高Q值和良好的选择性；还可以加上班尼电阻，进一步加大Q值。即，弱信号接收的选择性，比强信号要好很多，就这原因。
5、有意思的一点是，高Rd二极管，需要高阻抗耳机相配，这样一来，高阻抗会使低音丰富一些，低音声强相对大了，音质会得到很大改善。这个丰富的低音，是高阻抗耳机的特性所致，并不能表明高Rd二极管和高阻抗负载效率高。
6、对于极其弱的信号，低Rd值二极管及其相配的低值负载，马上就能使Q值和电压下降，使LC电路停止谐振，二极管停止工作，信号消失。只有高RD二极管和高阻抗负载，才能维持LC正常谐振，尽管效率很低，但却能捕捉到它，给人惊喜。这也并不能表明高Rd二极管和高阻抗负载效率高，只是，它对矿机的LC谐振影响很小，并能工作而已；如同罩着一盏赢弱的油灯，不让它灭掉一样。
7、网上流行的公式Rl=Rd=3Rp，用公式计算此时全波检波效率n=1/16=7.1%，空载Q值/有载Q值=1.17。在Rd=3Rp的情况下，Rl取值同Rd等值，不会获得最大功率；Rl取值3.5Rp才是最佳匹配。我认为，此公式只是反映了使用高Rd二极管应该和高Rl耳机相匹配的一个大致状态。它不是最大功率输出的Rd和Rl的最佳匹配方案，只有降低Rd并相应降低Rl，才会获得更高的效率。最大的功率输出，是Rd趋近于0的导通状态。就是说，对于Rd巨大的二极管来说，它同耳机串联，耳机的功率不会高；只是它的使用，让矿机Q值高选择性好，并能在弱信号下轻轻工作，听到其他矿机听不到的台而已。
验算
如今很多的矿机接收弱台，都用了Rd=0的3dq，它可没有“平方律”这种糟糕的工作状态。
谁有弱信号二极管矿机，可以把具体数据、生辰八字拿出来，我给算算，不要钱。
结束
上面一大篇看上去很复杂，其实很简单，给初学者（我也是）总结一下“1/9”经验值的简单使用方法：
如果有一个较强的天线，各个零件质量都很一般，线圈约240uh，Q大约100，半波检波，那么，耳机阻抗（不是直流电阻）7.5—15kΩ，效率和选择性上有很好的匹配。如果耳机的阻抗不是7.5—15kΩ，那么抗线圈的抽头位置电感值（uh）=（R×9或者19）÷100÷6.28，把耳机接在这里试一试，大概也许可能效果最佳。如果天线不强，信号也很弱，也不想用喇叭追求大声音，想多收个台，可以使用3dq作检波器，（R×19）÷100÷6.28同样有效。如果没有，就用二极管吧，不设抽头而把二极管接在线圈顶端的话，耳机负载不低于二极管Rd值1/3（可以在论坛里面查到）就差不多；其实低于Rd能听也行。祝你好运。
再说一句，如果算错了，请删帖，多谢各位了。
                                                                                                                   二○一八年一月二十八日修改

安庆矿友

还是得做下实验才行，我那个二极管检波理论一经实验马上知道错了，不过这就是研究矿机的乐趣吧，在不断求真中前进，不断有新的收获

陪你玩儿时尚

感谢分享！待有时间再细看。

xinlizixun0207

安庆矿友 发表于 2018-1-28 17:33
还是得做下实验才行，我那个二极管检波理论一经实验马上知道错了，不过这就是研究矿机的乐趣吧，在不断求真 ...

谢谢关注。我现在没有条件实验，只能用我以前的矿机和别人做的矿机数据来验证。初步验证结果，还行。

你搞的那个分析我没有看明白。如果加上电路图片、详细而具体的计算就好了。

xinlizixun0207

陪你玩儿时尚 发表于 2018-1-29 02:05
感谢分享！待有时间再细看。

谢谢关注。